Эстетическая медицина

Теории Юнга и Лапласа

Материалы по медицине / История изучения капиллярных и поверхностных сил / Теории Юнга и Лапласа

Страница 2

Если r — плотность числа молекул в обоих телах, то вертикальная состав­ляю­щая силы взаимодействия двух элементов объема равна

(2)

Полная сила притяжения, приходящаяся на единицу площади (положительная вели­чина), есть

(3)

Пусть u(s) — потенциал межмолекулярной силы:

(4)

(5)

Рис. 1.

Интегрируя по частям еще раз, получаем

(6)

Внутреннее давление Лапласа K есть сила притяжения на единицу площади ме­ж­ду двумя плоскими поверхностями при их контакте, т.е. F(0):

(7)

где — элемент объема, который можно записать как . Поскольку u(r) по предположению всюду отрицательно или равно нулю, то K положи­тельно. Лаплас по­лагал, что K велико по сравнению с атмосферным давлением, но пер­вую реали­сти­че­скую численную оценку предстояло сделать Юнгу.

Приведенный выше вывод основан на неявном допущении, что молекулы рас­пре­делены равномерно с плотностью r, т.е. жидкость не обладает различи­мой струк­турой в шкале размеров, соизмеримых с радиусом действия сил d. Без этого предпо­ложения нельзя было бы написать выражения (2) и (3) в такой про­стой форме, а надо было бы выяснить, как присутствие молекулы в первом эле­менте объема влияет на вероятность наличия молекулы во втором.

Натяжение на единицу длины вдоль произвольной линии на поверхности жид­ко­сти должно быть равным (в соответствующей системе единиц) работе, за­трачен­ной на создание единицы площади свободной поверхности. Это следует из опыта по рас­тяже­нию пленки жидкости (рис. 2).

Рис. 2.

На проволочной рамке держится жидкая пленка, прикрепленная правым краем к свобод­но пе­ре­мещаемой проволочке. Сила F, необходимая для уравновешивания натяжения в двусто­ронней пленке, пропорциональна длине L. Пусть F = 2sL. Смещение проволочки на расстоя­ние x требует работы Fsdx = sdA, где dA — увеличение площади. Таким образом, натяже­ние на единицу длины на отдель­ной поверхности, или поверхностное натяжение s, численно равно поверхност­ной энергии на единицу площади.

Величина этой работы может быть сразу получена из выражения (6) для F(l). Если взять два полубесконечных тела в контакте и развести их на расстоя­ние, пре­вышающее радиус действия межмолекулярных сил, работа на единицу площади бу­дет определяться как

(8)

При разделении образуются две свободные поверхности, и потому затраченную ра­боту можно приравнять удвоенной поверхностной энергии на единицу пло­щади, ко­торая равна поверхностному натяжению:

(9)

Таким образом, K есть интеграл от межмолекулярного потенциала, или его ну­левой момент, а H — его первый момент. В то время как K недоступно прямому экспери­менту, H может быть найдено, если мы сможем измерить поверхностное натяжение.

Пусть — плотность когезионной энергии в некоторой точке жидкости или газа, т.е. отношение dU/dV где dU — внутренняя энергия малого объема V жидко­сти или газа, содержащего эту точку. Для молекулярной модели прини­маем

(10)

где r — расстояние от рассматриваемой точки. Рэлей отождествлял лапласов­ское K с разностью этого потенциала 2 между точкой на плоской поверхности жидкости (значение 2S) и точкой внутри (значение 2I). На поверхности ин­тегрирование в (10) ограничено полусферой радиуса d, а во внутренней области проводится по всей сфере. Следовательно, S есть половина I, или

(11)

Рассмотрим теперь каплю радиуса R. Расчет fI не изменяется, но при по­луче­нии fS интегрирование теперь проводится по более ограниченному объему из-за кри­визны поверхности. Если — угол между вектором и фиксирован­ным радиусом , то